IEEE-754 浮點數標準的計算

最後更新於 2021 年 5 月 12 日

在做計算之前，先來介紹一下IEEE-754是什麼吧。

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IEEE = 電機電子工程師學會(Institute of Electrical and Electronics Engineers)

有興趣去維基百科了解，這邊就不多提了。

IEEE-754

二進位浮點數算術標準(IEEE-754)是20世紀80年代以來最廣泛使用的浮點數運算標準，為許多CPU與浮點運算器所採用。

　　IEEE 754規定了四種表示浮點數值的方式：單精確度（32位元）、雙精確度（64位元）、延伸單精確度（43位元以上，很少使用）與延伸雙精確度（79位元以上，通常以80位元實做）。只有32位元模式有強制要求，其他都是選擇性的。

　　大部分程式語言都提供了IEEE浮點數格式與算術，但有些將其列為非必需的。例如，IEEE 754問世之前就有的C語言，現在包括了IEEE算術，但不算作強制要求（C語言的float通常是指IEEE單精確度，而double是指雙精確度）。

表示法

File:IEEE 754 Single Floating Point Format.svg - 維基百科，自由的 ...

Sign部分：為 (-1)^S ，S為0 表示該數值為正數；S為1 表示該數值為負數。

Exponent部分：指數減去偏移得到的結果。

單精度的指數佔用 bit 30~23 的位置為8個 bit的欄位，偏移值為127。
此欄位 = 127 表示指數為0；200 則表示指數為73 (=200-127)。
雙精度的指數佔用 bit 62~52 的位置為11個 bit的欄位，偏移值為1023。計算方法同單精度。
4精度的指數佔用 bit 126~112 的位置為15個 bit的欄位，偏移值為16383。計算方法同單精度。

雙精度(64bit)與單精度(32bit)：

Single Precision vs Double Precision - The Crazy Programmer

Fraction部分：有效數的小數部分，省略了科學表示法實數部分的1，則Fraction為1.f。

單精度計算

一、72.625₍₁₀₎ 存入IEEE-754 單精度：

(A) 72.625為正數，因此Sign部分為0。

(B) 將該數值分為 整數 72 及 小數 0.625 兩個部分，72 = 1001000，0.625 = 5/8 = 0.101，72.625轉為二進制為 1001000.101。
使用科學記號表示法，將1001000.101 => 1.001000101 * 2⁶，得到指數部分為6。
指數6 + 偏移值127 = 133，133轉為二進制為：10000101，即指數部分填入10000101。

(C) 尾數部分填上剛剛轉為科學記號表示後的1.001000101小數 001000101，剩下的位元數用 0 填滿。
[由左至右填]

轉為16進制 => 0100 0010 1001 0001 0100 0000 0000 0000 = 42914000 = 儲存內碼(16)

二、-37.125 (10) 存入IEEE-754 單精度：

(A) -37.125為正數，因此Sign部分為1。

(B) 將該數值分為 整數 -37 及 小數 0.125 兩個部分，-37 = -100101，0.125 = 1/8 = 0.001，-37.125轉為二進制為 -100101.001。
使用科學記號表示法，將-100101.001 => -1.00101001 * 2⁵，得到指數部分為5。
指數5 + 偏移值127 = 132，132轉為二進制為：10000100，即指數部分填入10000100。